【郝一江】数学哲学发展趋势
1、历史背景：分析哲学的数学哲学逐渐衰落
分析哲学认为思辨逻辑不能经验证实，由于没有意义因此从哲学中清除出去，先验逻辑应当交给心理学进行实证研究，形式逻辑成为保存下来的唯一哲学部门。分析哲学包括逻辑原子主义与逻辑实证主义，反对哲学唯心主义的战斗过程里面，逻辑原子主义是实在论思潮的同盟军，逻辑实证主义是实证主义思潮的继承人，因而逻辑实证主义采取观念论而非实在论。逻辑实证主义主要从事科学语言的逻辑句法学，逻辑原子主义主要从前科学语言的逻辑语义学，逻辑实证主义那里语言与元语言的区分发挥重大作用，逻辑原子主义那里逻辑分析方法发挥重大作用。
逻辑主义是逻辑原子主义的数学哲学。逻辑原子主义是罗素思考数学哲学时候强加于他的形而上学，逻辑原子主义是从罗素的逻辑主义数学哲学产生出来的形而上学，这种形而上学坚持存在很多分散事物的常识信仰，反对认为世界的多样仅仅在于单一实体的各种状态。罗素认为逻辑分析的最后剩余不是物理原子而是逻辑原子，某些这样的原子就是人们称为殊相的东西，例如很小的颜色片断、声音、瞬间的事物，还有某些逻辑原子就是谓词或者关系等等，它们都是逻辑分析的原子而非物理分析的原子。维特根斯坦是把语言界限就是世界界限这个原理用于数学，数学对象被理解为限于可以使用数学语言加以表述的那些实体，这就假定数学真理可以通过形式化的数学语言获得。这个数学语言就是谓词演算及其推理规则，谓词演算通过构造推理规则与句法形式的语言形式化过程产生出来。
形式主义是逻辑实证主义的数学哲学。卡尔纳普认为科学逻辑应当取代哲学，科学逻辑就是科学语言的逻辑句法学，元数学就是数学语言的逻辑句法学，于是元数学应当取代数学哲学。逻辑实证主义的基本观点包含在形式主义的观点之中，这种形式主义出自希尔伯特的元数学或者证明论，这是希尔伯特的公理化思想演讲表述的研究纲领，数学证明本身也能成为数学研究的直觉对象，成为逻辑的形式化方法引起的数学考察的可能性。某种语言的逻辑句法被理解为关于这种语言的形式理论，形式理论就是完全不提及意义的关于语言表达的那种说法。关于语句的形式研究并不涉及语句及其词项的意义，仅仅涉及词项的种类及其相互连接的那种次序。使用非形式语言表达的问题能够使用形式语言表达出来，关于语言的非形式研究能够还原成为形式研究，关于语言的非形式问题能够通过形式方法加以解决。针对数学来说这种关于语言的形式理论通过希尔伯特著作广为流传。
哥德尔1931年发表《数学原理及其相关系统的形式不可判定语句》，建立关于数学形式系统的两个元数学定理。第一不完全性定理：存在一个算术语句A，A在算术标准模型
2、直觉主义的研究动态
格里文科与柯尔莫哥洛夫最早研究直觉主义形式系统，他们分别提供直觉主义语句与谓词逻辑的部分内容，1928年海丁建立直觉主义逻辑的完整的形式系统，1931年海丁提出联词与量词的证明解释。A∧B的证明P就是一对证明P1 与P2 ,使得P1就是A的证明并且P2就是B的证明；A∨B的证明就是一个逻辑构造，这个逻辑构造选择A或者B并且给出证明； 的证明就是一个逻辑构造，对于A的任何一个证明q，都会指出B的证明P（q）并且验证P(q)是B的证明； 的证明就是一个 的证明，亦即根据任何A的证明得到矛盾构造； 的证明就是一个逻辑构造，能够选取个体a并且得到A(a)的证明； 的证明就是一个逻辑构造，对于处于讨论的定义域的任何个体a，存在A(a)的证明P(a)并且能够验证P(a)满足这些条件。1934年甘岑的自然推理系统完成直觉主义逻辑的重大突破，1938年塔尔斯基提出联词与量词的拓扑解释，二次大战以后克林提出联词与量词的递归可实现性解释，五十年代哥德尔提出联词与量词的算法类型的辩证解释，1956年贝思提出联词与量词的更加直观的拓扑解释，1963年克里普克提出联词与量词的更加方便的拓扑解释，七八十年代发现拓扑斯与拓扑层使得建立拓扑解释的普遍理论成为可能。
直觉主义可以分为以下几个主要学派，俄国构造主义、毕肖普构造主义、递归分析构造主义、客观直觉主义、布劳维尔直觉主义、martin-lof类型论。作为最为年轻的直觉主义学派，martin-lof类型论是具有变量类型的λ演算，martin-lof认为，没有任何数学对象不是属于某个确定类型，数值对象、函数、操作、证明等等都有确定类型。直觉主义逻辑反映直觉主义数学使用的证明方法，并且规范直觉主义可以接受的证明方法。所有非经典逻辑的形式系统里面，直觉主义逻辑拥有独一无二的重要地位，它是迄令为止唯一受到大批干练的数学家重视的逻辑系统，也是语句与量词逻辑以外唯一用来叙述数学的逻辑系统，卢卡西维茨曾经希望出现非欧几何那样被人实际使用的逻辑系统，直觉主义逻辑是唯一还有机会实现卢卡西维茨设想的逻辑系统，它以别出心裁始终如一的直觉主义数学哲学作为基础，自从建立之初它就引起很多学者强烈的研究兴趣。
康德哲学是布劳维尔直觉主义的思想渊源，康德认为直觉是知识的来源，纯粹直觉是知识的永恒来源，空间与时间的纯粹直觉产生绝对确定性。康德的直觉理论源于普罗提诺、托马斯与笛卡尔，感觉就是直觉的原始意义，如果我们观察或者注视某个事物，这个事物就是我们的所见或者感觉对象，普罗提诺以来形成直觉与推理的悬殊差别，直觉成为上帝瞬间认识所有事物的方式，推理成为人类逐步认识有些事物的方式。笛卡尔认为直觉与演绎是知性产生知识的两条途径，直觉不是各种感觉的验证或者想象的错误判断，直觉是从缜密头脑里面的知性范畴得来，直觉的清楚明白使它所理解的事物没有任何可疑之处，严密头脑里面的自明范畴是仅仅依靠理性获得的知性范畴，这些范畴相比演绎过程更加简单更加确定。康德与笛卡尔的直觉理论不尽相同，康德认为我们没有知性直觉能力，我们的知性范畴是空洞的分析范畴，知性范畴只有综合空间与时间的纯粹直觉，才能构造具有绝对确定性的先验综合知识。
有穷序数可以构造出来，于是可以获得ω序型的可数序列，选择序列可以构造出来，于是可以建立直觉主义实数理论。展形概念是从选择序列发展出来，它使通过单一潜无穷过程建立实数的设想成为现实。构造有穷序数是以自然数直觉与数学归纳法作为基础，所有构造主义都要使用这种方法。虽然非欧几何否定空间直觉具有先验必然性，但是数学算术化使得空间直觉不再必不可少，时间直觉能够提供构造数学知识的全部质料，范畴综合时间直觉能够形成全部数学知识。数学直觉主义运用自然数构造有理数，运用有理数构造实数以及实数连续统，首先通过实数生成子构造实数，实数生成子是有理数序列ＡΝ，对于任意Ｅ＞０，可以确定一个Ｎ，对于任意Ｐ恒有∣ＡN＋Ｐ－ＡN∣＜Ｅ，其次建立属种或者直觉主义集合论，实数作为实数生成子的等价属种构造出来，最后通过展形概念同时构造实数以及实数连续统。
3、结构主义的研究动态
结构主义占据二十世纪下半世纪数学哲学的主导地位，结构主义是以逻辑主义、直觉主义与形式主义作为背景，已经开始对于自己的数学哲学进行更为系统的阐述。结构主义发展出来的四种主要的研究纲领，(1)集合论结构主义（STS），(2)自我产生的结构主义（SGS），(3)模态结构主义（MS），(4)范畴论结构主义（CS）。这些类型的结构主义具有两个共同的直觉原则。首先，数学是结构可能性的自由探讨，或多或少被严密的演绎法所追求。其次，数学的相关总体里面，重要的不是特别的对象，而是某种“结构”的性质与关系，单个数学对象本身依赖于这种结构关系。这些类型的结构主义可以按照两个角度进行比较。角度之一是柏拉图主义本体论与模态词项之间的权衡，集合论结构主义、自我产生的结构主义与范畴论结构主义，这样三种结构主义使用模态自由语言设计出来，它们在柏拉图主义本体论里面得到很好的连贯。角度之二是各自框架里面能够合并大量数学结构，集合论结构主义、自我产生的结构主义与范畴论结构主义，它们的框架的丰富程度永远没有止境，尤其它们的基数或者类型没有限制。
3、1集合论结构主义（STS）
这种类型的结构主义通过模型论描绘数学结构及其相互关系。结构被理解为模型，集合被看作域或者特异关系或者可能个体，表面不同的结构的等价可以根据定义外延与相关概念加以定义，例如带有合理的特异后继的全部二阶自然数结构等价于通过添加加法与乘法得到的结构。（1）预先设定的纯粹集合的不动的本体论。唯名论当然不能接受这种本体论，甚至不会质疑一般柏拉图主义的集合论学者，对于这种不动的本体论产生的问题非常敏感。（2）集合的不动的本体论非常巨大，能够充分代表任何想象出来的数学结构，然而这种本体论没有正式承认这种同构类型或者等价结构类型，柏拉图主义的结构主义仅仅非正式地谈及作为非代数理论的自然主体内容，例如算术、实数分析等等。（3）所有这些集合论自身得到结构主义解释，这是集合的不动的最大本体论的尴尬。即使质疑正则、选择与替换公理的绝对正确性，也将会有强无穷公理引起的任何基数的ZFC扩张。（4）集合论结构主义是正统的柏拉图主义，或者直截了当的实在论，他们面前必然出现关于“两者之间”的层次的迷惑。什么集合存在是个类似物理存在的客观现实问题，我们规定集合世界的丰富性不能超过它们规定物质世界的丰富性。传统柏拉图主义的情形下面，关于抽象数学对象的信念里面，存在我们可能系统地完全弄错的可能。
3、2自我产生的结构主义（SGS）
如果脱离发挥决定作用的数学理论认识结构主义，人们可能就会研究自我产生的结构主义，人们根据它们的条件把结构当作模型或者共相，这个标题之下的不同概念可能依赖共相的概念。自我产生的结构主义涉及自然数结构时候，把位置作为处于级数的常见关系里面的固定对象，这种结构由二阶Peano-Dedekind公理进行隐定义。这种结构阐明“位置作为场所”，而不是“位置作为对象”的观点，原因在于位置被其他事物占据，包含位置的结构称为先验对象。于是这种结构就是某种柏拉图式的抽象、某种场域或者具体化模型，适于所有级数共同分有的东西。按照这种意义结构处于自由的地位，不依赖于其他任何对象、性质或者关系，也不同于那些引进这种结构的限制性条件的规定，人们同样可以谈及实数结构、复数结构与ZF分层结构。
3、3模态结构主义（MS）
模态结构主义是唯名论的研究纲领，虽然这个纲领已经使用二阶逻辑，但是由于使用模态词项，集合与关系仍然不需要得到支持，尤其集合论甚至范畴论可以给予ＭＳ解释。Hellman建议使用“模态中立主义”代替“模态唯名论”，“模态中立主义”是指数学对象与物理对象完全不同。总之，模态结构主义口号是，“对象为了抽象，而非抽象对象！”模态结构主义具有两个子类型：（a）首先发展集合论或者范畴论的模态结构解释，然后相应地转换成简单的MT或者CT结构进行处理，（b）寻找任何这种结构的直接的模态理论解释，从而避免集合论支持的任何可能的范围。从本体论的观点来看（b）更为有趣，并且面临解释不同结构类型这个挑战，同时MT与CT的某些问题需要着手处理。如果进路（b）非常成功，那么结构主义代表独立的集合论而非它部分，结构本身甚至成为受到解释的对象，它将代表非常值得注意的唯名论的方法的扩张。
3、4范畴论结构主义（CTS）
基于范畴论可以提出某种数学结构主义哲学，应用范畴概念可以富有成效地讨论某些基本的哲学问题，能够很好地为哲学结构主义的目的服务。正是现代数学的结构进路激发结构主义里面的哲学兴趣，然而数学结构主义的实际方法好象受到极大的忽视，哲学的说明常常通过模型论代替进行。人们不能接受对于实际方法的这种忽视，某种基于数学结构主义方法的哲学观点，至少应该与当前的数学实践更加协调，通过利用现在良好发展的技术装置从牢固的传统中受益，这种技术装置就是范畴的数学理论，数学对象与它们的映射的抽象理论。Hellman [2003] 对于范畴论结构主义提出有趣的挑战，Hellman从引证Ａwodey [1996]开始，认为这种理论不能作为预期的数学基础，Hellman论文的绝大部分仔细检查范畴论的系统阐述，特别仔细检查声称范畴论能够提供数学基础的部分。Mclarty认为范畴论能够作为预期的数学基础，而不仅仅是集合论的某种变化形态。
参考文献
[1] Geoffrey Hellman , Three Varietes of Mathematical Structuralism, Philosophia Mathematica (3) Vol. 9 (2001)
[2] Colin Mclarty , Exploring Categorical Structuralism, Philosophia Mathematica (3) Vol. 12 (2004)
[3] Geoffrey Hellman , Structuralism Without Structures, Philosophia Mathematica (3) Vol. 4 (1996)
[4] Geoffrey Hellman , Does Category Theory Provide a Framework for Mathematical Structuralism? Philosophia Mathematica (3) Vol. 11 (2003)
[5] Steve Awodey , An Answer to Hellman’s Question: ‘Does Category Theory Provide a Framework for Mathematical Structuralism?’ Philosophia Mathematica (3) Vol. 12 (2004)
[6] Steve Awodey , Structure in Mathematics and Logic: A Categorical Perspective, Philosophia Mathematica (3) Vol. 4 (1996)
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