摘要：智能信息处理需要各种不确定性推理，于是出现了数十种非标准逻辑，我们统称为数理辩证逻辑，其中有一部分是连续值逻辑；逻辑代数是建立数理逻辑的重要基础，正象布尔代数在标准逻辑中扮演的角色那样；在泛逻辑学研究纲要的指导下，提出了完整的连续值逻辑代数，它定义了连续值命题逻辑中可能存在的全部7种逻辑运算模型完整簇，可直接包容和处理由真/假矛盾引起的命题真值的不确定性、由敌/友矛盾引起的逻辑运算模型的不确定性、由宽/严矛盾引起的逻辑运算模型的不确定性和由亲/疏矛盾引起的逻辑运算模型的不确定性等，它们是在连续值命题逻辑运算模型中可能存在的全部4种不确定性；利用连续值逻辑代数可完善现有的各种连续值命题逻辑系统，是进一步建立连续值辩证逻辑的重要基础。

一、数理逻辑的时代使命

（一）信息时代的核心基础理论是逻辑

不同时代有自己的发展主题，它决定了时代的基本科学问题和核心基础理论^[1]（见表1）。

表1不同时代的基本科学问题和核心基础理论

我们做出这个论断的重要依据之一是标准逻辑的所有性质都有明确的信息意义，它反映了理想信息世界的结构和运动规律，这些规律不同于化学和物理中已有的数值运算规律。P可认为是信息的一种抽象表示，分子信息的组成可用原子信息的逻辑表达式描述，信息的运动过程可用逻辑演算过程描述。常见基本逻辑规律的信息意义：

L0 P Î{0, 1} 二值律。基本信息具有非此即彼的二值性，它是理想信息世界的基本属性。

L1 P∨P＝P 吸收律。信息是信源的状态，它不会因为被无限多信宿的分享而改变。

L2 P∧P＝P 吸收律。信息是信宿收到的消息，它不会因为无限多次重复而改变。

L3 ～P∧P＝0 矛盾律。同一信息过程中，一个信息不能既是又非，两者不能并立。

L4 ～P∨P＝1 排中律。 同一信息过程中，一个信息不为是就为非，两者必居其一。

L5 ～～P＝P 对合律。 对信息否定后的再否定必将回到原信息。

L6 P, P→Q╞ Q MP规则。如果蕴涵式的前件信息为真，它的后件信息必真。

不仅布尔提出的二值逻辑代数满足这些性质，以后我们还将证明本文提出的连续值逻辑代数也满足这些性质。所以，逻辑不仅是思维的法制，也应该是信息世界的基本法则。所以，本文称全面满足性质L1--L6的逻辑系统为健全的逻辑系统（sound logic system）。

人类习惯于接受自然语言形态的哲理逻辑，机器只能接受数学形态的数理逻辑。现有的数理逻辑是数理形式逻辑，只能在理想封闭的环境中处理确定性问题，发展能灵活机动的处理各种不确定问题的数理辩证逻辑是信息时代的神圣使命。

（二）当前信息化的重点是智能信息处理

信息化初期的任务主要是传统信息处理，它针对的是一类确定性问题，其中的信息是二值的、完全已知的和恒定不变的。如计算机的硬件设计和软件设计，形式语言和自动机理论，信息网络等。主要是解决“算得快，联得上，发得出，收得到”等初级信息化问题。

在国际互联网大量普及的今天，“信息灾难和知识饥渴”的矛盾日益突出，信息处理的对象变成为一类不确定性问题，它可能是非二值的、不完全已知的和不断发展变化的信息，解决这类问题的办法只能靠各种智能信息处理，智能信息处理是信息化发展的高级阶段。

（三）我们正在进入数理辩证逻辑时代

为了满足智能信息处理中各种不确定性推理的需要，近几十年来出现了许多非标准逻辑，我们统一称这些非标准逻辑为数理辩证逻辑。按照研究对象的不同，逻辑学粗分为两大类^[2]（见表2）。

表2形式逻辑和辩证逻辑的对比

尽管标准逻辑的理论体系已经发展成熟，但它不能在信息世界中广泛使用。因为标准逻辑是建立在“封闭全信息的确定性世界假设”的基础上，它把信息世界简化成了一个封闭的、全部信息已知的、确定不变的、非此即彼的二值世界，所以是初等逻辑^[3,4]。

现实世界中普遍存在着辩证矛盾和不确定性及演化，当代逻辑学应该在标准逻辑的基础上逐步放开各种约束条件，以便包容和处理各种辩证矛盾、不确定性和演化，这是数理辩证逻辑的神圣历史使命，所以是高等逻辑。

综合分析现有的各种非标准逻辑，发现它们为了处理各种不确定性，正在从三个不同的方向突破标准逻辑的一些限制条件^[5]：

多值性方向—表现在命题的真值从二值到多值再到连续值变化；

多维性方向—表现在真值空间维数从一维到二维再到多维变化；

缺损性方向—表现在推理需要的信息从完全已知到不完全知道、从固定不变到不断变化，推理过程从封闭到开放、从线性到非线性、从协调的到次协调变化等。

遗憾的是每个非标准逻辑都是从局部的个别需求出发的，没有从全局思考这个问题，见树不见林。更没有把事物的外在不确定性和事物的内在矛盾性紧密地联系起来分析研究，因而发现不了自己的研究正是探索数理辩证逻辑努力的一个组成部分。

泛逻辑学的基本思想是^[6]：通过逻辑的信息本质来把握逻辑学的一般规律，充分利用人工智能、计算机科学和非标准逻辑研究中方方面面的经验和成果，把事物外在的不确定性和演化与事物内在的辩证矛盾紧密联系起来统一研究，用全局的观念进行整体规划，用务实的态度进行每一步具体探索，分层次分阶段地逐步建立数理辩证逻辑的理论体系。

作者在2001年提出了《泛逻辑学研究纲要》（简称《纲要》），它为我们勾画出了作为信息时代核心基础理论的逻辑学的未来发展蓝图（图1）。

图1数理逻辑的统一理论框架

其中<0, 0, 0>绿色部分是已经完全建立起来的标准逻辑（又称经典逻辑，常量逻辑，刚性逻辑）。其他部分是非标准逻辑（又称非经典逻辑，变量逻辑，柔性逻辑）。《纲要》遵循的基本原则是：

一个核心目标任何一个高等逻辑应该能够在排斥逻辑矛盾的同时，不同程度地包容某个（些）辩证矛盾（或不确定性）。所以，与标准逻辑只能有一个等价的系统不同，高等逻辑将有无穷多个不等价的系统，不同的高等逻辑包容的辩证矛盾（或不确定性）不同。

二条基本路线 包容辩证矛盾（或不确定性）的方法一般有两条：首先，通过时空定位把逻辑的适应范围缩小到能够正好包容这个辩证矛盾（或不确定性）的子空间；然后，通过在逻辑运算模型中引入连续可变的柔性参数和调整函数（即调整机制）来表示该辩证矛盾（或不确定性）带来的全部影响。

三个突破方向相对于标准逻辑的各种约束条件来说，各种高等逻辑的约束条件有三个不同的突破方向（一个非标准逻辑可同时有多个突破方向）：命题真值的数量；真值空间的维数；推理所需信息的完全性。

四大逻辑要素要构造一个逻辑系统必须有四大逻辑学要素，它们是：论域；命题连接词；量词和推理模式。《纲要》详细讨论了这四大逻辑学要素可能出现的变化形式，给出了它们的一般表达式。

《纲要》包容各种可能出现的不确定性（或辩证矛盾）的4条途径：

1）建立柔性域 <{^}∪值域<a>, 论域, 模型域>（见表3）。

表3逻辑学可能有的各种柔性域

不确定性首先表现在命题真值的不确定性上，从命题变元的真值域及其空间维数上看，不确定性可能出现的最大范围是分数维空间[0, 1]ⁿ, n＞0，而分数维空间向下可兼容整数维空间[0, 1]ⁿ , n =2, 3, ….，整数维空间向下可兼容一维连续值空间[0, 1]，连续值域向下可兼容有限多值域（如三值域{0, u, 1}），多值域向下可兼容二值域{0, 1}。这给突破一维二值逻辑真值域的局限性提供了可能性。

从个体变元的论域上看，标准逻辑是单粒度的，即默认全论域的逻辑性质完全相同。高等逻辑未来的发展趋势是在逻辑学中引入粒度计算思想，用某种等价关系将论域分成不同的子域，不同子域的逻辑性质可以不同，以表示论域的不确定性。这给突破一维二值逻辑单一粒度的局限性提供了可能性。

从模型域上看，标准逻辑是单一模态的，目前模态逻辑已经发现了几十种不同的模态，将来有可能发现连续变化的模态，以精确刻画不确定性在模态方面的影响。这给突破标准逻辑单一模态的局限性提供了可能性。

2）定义运算模型完整簇通过定义各种连续值命题连接词的运算模型完整簇来表示各种不确定性对逻辑运算结果的影响。例如：在已经建立起来的命题泛逻辑系统中，我们首先通过时空定位把逻辑的适应范围缩小到能够正好包容敌/友矛盾、宽/严矛盾、轻/重矛盾的子空间（单独一个，任何两个或三个都有）；然后，通过在逻辑运算模型中引入连续可变的柔性参数k, h, b∈[0, 1]，并用对应的调整函数来表示该辩证矛盾（或不确定性）对命题连接词运算模型的全部影响，得到了如表4所示的各型命题泛逻辑。可见，只要能够利用时空定位把逻辑的适应范围缩小到能够正好包容某个辩证矛盾（或不确定性）的子空间，然后通过在逻辑运算模型中引入连续可变的柔性参数和调整函数，来表示该辩证矛盾（或不确定性）带来的全部影响，就是可以在数理辩证逻辑中有效地包容和处理各种辩证矛盾（或不确定性）。这是我们下面讨论连续值逻辑代数的根据。

表4各型命题泛逻辑及其兼容关系

3）通过定义各种柔性量词来表示约束条件（范围）的不确定性。定义在W＝{^}∪值域<a>上的柔性量词有：标志命题真值误差的阈元量词♂^k；标志假设命题可信任程度的假设量词$^k；约束个体变元范围的范围量词∮^k；指示个体变元相对位置的位置量词♀^k；改变真值分布过渡特性的过渡量词∫^k。其中kÎ[0,1]是可变参数，代表约束条件的变化。当它们的值是1时，约束最大（强）；是0时，约束最小（弱）。这样通过调整k值的大小，不仅可以描述约束条件的不确定性，还可以控制相关推理模式的淡入或淡出。例如，在范围量词∮^k中，一般情况下k可连续地变化，以表示约束个体变元范围的不确定性。特殊情况下，当k＝1时表示传统的全称量词"；当k＞0时表示传统的存在量词$；当k＝!时表示传统的唯一存在量词$!；当k＝0时表示没有范围量词的约束。

4）各种柔性推理模式由于连续值命题的真值、命题连接词的运算模型和量词都具有柔性，在它们基础上形成的演绎推理，归纳推理，类比推理，假设推理，发现推理，进化推理，…等推理模式都是柔性的。与标准逻辑不同，这些柔性推理模式不是决然分开的，它们可以共存于一个推理过程中，并可通过柔性参数的改变而相互转化，其中演绎推理模式是最基本的。所以，这个理论框架可描述矛盾的对立统一及矛盾的转化过程，它为辩证逻辑的符号化和数学化提供了可能。

（四）逻辑代数在建立数理逻辑中的关键作用

亚里士多德奠基的哲理逻辑已有2300多年的发展历史，250多年前开始向数理逻辑发展，在哲理形式逻辑向数理形式逻辑过渡的转折时期，有两个人发挥了关键性作用：

一个是德国数学家和哲学家莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716），他提出了“万能符号”和“推理计算”的思想，希望把一切逻辑推理都化归为计算，并建立一套普遍适用的符号语言。

另外一个是英国的数学家布尔（G. Boole，1815—1864），他在《思维法则》一书中，第一次用符号语言描述了思维的基本法则，真正使逻辑代数化，初步实现了莱布尼茨的理想，创立了逻辑代数（见表5）。布尔提出的二值逻辑代数具有非常强的能力和简洁性：只用“与”(∧)和“非”( )二种运算（其他运算都可以用这二种运算表示出来）就可描述逻辑中的各种关系和规律。布尔还发现“逻辑代数服从一种特殊的数值代数不服从的定律”：对任意元素X，X∧X=X，X∨X=X，它表示一旦知道了某件事为真，无论那么重复也不会增大这一信息。后来发展起来的整个数理形式逻辑的理论体系，包括命题演算、谓词演算、公理集合论、递归函数论、证明论和模型论都离不开布尔的逻辑代数，逻辑代数是构建数理形式逻辑的基础。这个历史经验对我们今天建立数理辩证逻辑的理论体系具有重要的借鉴意义。

表5布尔逻辑代数的各种运算模型

二、连续值逻辑的发展现状分析

有一部分非标准逻辑是在二值逻辑的基础上处理不确定性（例如次协调逻辑），另外一部分则是依靠三值逻辑甚至连续值逻辑，下面专门研究连续值逻辑。

（一）连续值命题的逻辑意义

标准逻辑处处表现出它的刚性，如真/假、有/无必须决然分开，不允许有任何中间过渡状态。连续值逻辑必须考虑有关的中间过渡状态，才能描述相应的不确定性。人们一般只注意事物外在的不确定性，而忽视引起（或制约）事物不确定性的内在矛盾，其实研究不确定性就是在研究辩证矛盾。单纯看不确定性，它是由于信息（或边界条件不充分）引起的。但要从全局上把握某个不确定性的逻辑规律，就必须研究引起这个不确定性的内在辩证矛盾，是它制约了不确定性的变化范围及其变化模式。从矛盾的观点看，二值逻辑是在矛盾的对立中认识事物，具有非此即彼性，不能在系统中包容和转化矛盾。连续值逻辑是在矛盾的对立统一中认识事物，它具有亦此亦彼性，能够在系统中方便地包容和转化矛盾（见图2）。所以引入连续值命题是建立数理辩证逻辑的重要基础。

图2连续值逻辑可包容和转化辩证矛盾

连续值命题的真值用真度表示，真度的物理意义可通过下面的实例（见图3）来说明：

图3命题真度的物理意义

图中抗菌素对细菌种群E的杀伤效果用摧毁度x=m(X)来表示，其中X是被抗菌素摧毁的细菌子群，m(X)是定义在E上的模糊测度，它代表对摧毁效果的评估。显然，m(E)=1, m(Æ)=0，一般情况下m(X)是[0, 1]中的实数。摧毁度是命题的真度，摧毁度之间的运算是逻辑运算。如

当1种抗菌素单独使用时：摧毁度是m(X)，残余度是m(ØX)；

当2种抗菌素联合使用时：摧毁度是m(X)∨m(Y)，严重摧毁度是m(X)∧m(Y)，残余度是m(ØX)∧m(ØY)。

这里的m(X)和m(Y)有无限多的中间过渡状态，不能在{0, 1}中取值，只能在[0, 1]中取值，所以叫连续值命题或柔性命题。

柔性命题是普遍存在的客观现象，如市场货物品种的齐全率，部队训练的成绩，设计方案的评估和学生的学习成绩等。柔性命题具有以下鲜明的特点：命题的真度x不满足二值律，有连续过渡的中间状态；命题的真度x与特征空间E中对应子集X的大小有关；命题的真度与特征空间E中模糊测度m(X)的性质有关；复合命题的真度与特征空间E中对应子集X、Y的大小、位置及模糊测度m(x)的性质有关。

从图4可以看出，在连续值命题逻辑中，逻辑代数的基本任务是在二值逻辑代数的基础上进一步回答连续值命题的复合命题如何确定，这实质上是要回答如下问题：当p, qÎ[0, 1]时，～p=?，p∧q=?，p∨q=?，p®q=?，p«q=?。

图4连续值逻辑代数需要回答的基本问题

答案可能有许多种，不同答案形成不同的连续值逻辑，下面分析现有3种连续值逻辑的现状和问题。

（二）模糊逻辑的现状和问题

Zadeh在定义模糊逻辑时, 直接给出了模糊命题连接词的运算模型^[7]（见图5）：

非算子～p＝1－p

与算子p∧q＝min(p, q)

或算子p∨q＝max(p, q)

蕴涵算子p®q＝min(1, 1－p＋q)

等价算子p«q＝1－|p－q|

图5模糊逻辑的运算模型及其适用条件

实际应用表明，模糊逻辑常常会出现不合理的运算结果。经过我们的理论分析，其中∧，∨的适用条件是最大相吸，®, «的适用条件是最大相斥。可见模糊逻辑具有很大的片面性和不协调性，这说明它在理论上还不成熟。模糊逻辑是非健全的逻辑系统，它只能满足6个基本逻辑性质中的L1、L2、L5和L6，不能满足L3和L4。

（三）概率逻辑的现状和问题

概率论认为，如果A和B是两个独立的事件（命题），则满足下列运算模型^[8]（见图6）：

非算子 P(﹁A)＝=1－P(A)

或算子P(A∨B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)

与算子P(A∧B)＝P(A)P(B)

其中没有关于蕴涵算子和等价算子的模型。

如果A和B是两个不独立的事件（命题），它满足下列运算模型：

非算子P(﹁A)＝1－P(A)

或算子P(A∨B)＝P(A)＋P(B)－P(A∧B)

与算子P(A∧B)＝P(A)P(B/A)＝P(B)P(A/B)

也没有关于蕴涵算子和等价算子的模型，一般是用条件概率来代替蕴涵算子的作用。

条件概率：P(A/B)=P(A∧B)/P(B)当P(B)>0时

P(A/B)=1当P(B)=0时

在A、B独立的情况下，P(A/B)=P(A)。

图6概率逻辑的运算模型及适用条件

在概率论的基础上，卡尔纳普等人提出过几种概率逻辑，但它们至今没有发展成熟，除了处理独立事件外，很少被人使用。概率逻辑是非健全的逻辑系统，它只能满足6个基本逻辑性质中的L5和L6，不能满足L1、L2、L3和L4。

（四）Luckasiewicz逻辑的现状和问题

Lukasiewicz的连续值逻辑定义了如下的命题连接词运算模型^[9]（见图7）：

非算子～p＝1－p

与算子 p∧q＝max (0, p＋q－1)

或算子p∨q＝min (1, p＋q)

蕴涵算子p®q＝min(1, 1－p＋q)

等价算子p«q＝1－|p－q|

图7Lukasiewicz逻辑的运算模型及适用条件

理论分析表明，它只能在最大相斥时有效，具有很大的应用局限性。Luckasiewicz逻辑是非健全的逻辑系统，它只能满足6个基本逻辑性质中的L3、L4、L5和L6，不能满足L1和L2。

所有表面上能够想到的约束条件，如必须与二值逻辑兼容、单调性、连续性、不违背运算的逻辑内涵等，这3种逻辑都想到了，但仍然是漏洞百出，这说明一定还有更深层的原因在影响着连续值逻辑的运算模型。到底应该如何定义连续值逻辑的运算模型，是值得数理逻辑界深入探讨的问题，它是连续值逻辑代数研究的出发点和历史使命

三、对连续值逻辑代数的探索

上述连续值逻辑中出现的问题说明，命题的真值由{0, 1}扩展到[0, 1]后，不能够简单的套用布尔的二值逻辑代数，而应该系统深入地研究在[0, 1]真值域内命题的各种基本运算性质，这是连续值逻辑代数需要研究和回答的问题。

（一）影响连续值逻辑运算模型的诸因素

一般性讲，二值命题是由对分明概念进行确定性判断形成的，它的真值可以通过概念直方图直接确定，利用论域U上的集合运算可得出布尔逻辑代数的各种运算模型（见图8）。

图8二值命题是对分明概念进行的确定性判断

形成连续值命题的情况比较复杂，它可能是对分明概念进行的模糊（概率）性判断，也可能是对模糊概念进行的确定性判断，还可能是对模糊概念进行的模糊（概率）性判断。图9表示的是对模糊概念进行的确定性判断，在这种情况下，要确定论域U中某元素u属于模糊集合A的程度x，首先需要在特征空间E中确定与元素u对应的分明集合X，E上的模糊测度x=m(X) 是连续值命题的真度。显然，m(E)=1, m(Æ)=0，一般情况下m(X)是[0, 1]中的实数。从图9可以看出，利用特征空间E上的集合运算可以得出连续值逻辑代数的各种运算模型。这与二值命题的情况有些相似，不同的是一个直接在论域U中进行，由于集合之间的相对位置已经给定，逻辑运算模型不会变化；另一个是间接在特征空间E中进行，集合之间的相对位置并未确定，逻辑运算模型将随相对位置及其他因素而变化。认识到这一点是研究连续值逻辑代数的关键。

图9对模糊概念进行的确定性判断

在特征空间E中影响集合X的大小、相对位置和模糊测度性质的因素有：

1）命题真值的不确定性，它决定（或受制）于特征空间中使命题为真的因素和使命题为假的因素之间的矛盾，可从完全的真，半真半假到完全的假连续地变化。命题的真度用柔性参数x∈[0, 1]表示，如x＝1表示命题完全为真，x＝0.75表示命题偏真，x＝0.5表示命题为半真半假，x＝0.25表示命题偏假，x＝0表示命题完全为假（图10）。

图10真度反映了由真/假之间矛盾引起的不确定性

真度变化对逻辑运算结果的影响全部反映在如下的逻辑运算模型中，它们是关于真度的调整函数，以后特称为基模型（图11，下面再详细讨论）。

非运算    N(x)＝1－x

与运算T(x, y)＝max(0, x＋y－1)

或运算S(x, y)＝N(T(N(x), N(y)))＝min(1, x＋y)

蕴涵运算I(x, y)＝max(z|y≥T(x, z))＝min(1, 1－x＋y)

等价运算Q(x, y)＝T(I(x, y), I(y, x))＝1－|x－y|

平均运算M(x, y)＝N(S(N(x)/2, N(y)/2))＝(x＋y)/2

组合运算C^e(x, y)＝ite{min(e, max(0, x＋y－e))|x＋y＜2e;

N(min(N(e),max(0, N(x)＋N(y)－N(e))))|x＋y＞2e; e}

＝min(1, max(0, x＋y－e))

其中e∈[0, 1]是表示弃权的幺元，ite{y|x; z}是条件表达式，意为“如果x，则y；否则z”。

图11 连续值逻辑运算的基模型 (其中e=0.5)

2）两命题之间广义相关关系的不确定性，它决定（受制）于特征空间中使双方友好的因素和使双方敌对的因素之间的矛盾，可以从完全友好状态、偏友好状态、不敌不友状态、偏敌对状态到完全敌对状态连续地变化（见图12）。两个命题之间广义相关关系的不确定性用广义相关系数h∈[0, 1]来刻画，其中：

图12两命题间广义相关关系的不确定性

h＝1表示双方处在完全友好状态。它在特征空间E中表现为集合X和集合Y是完全包含关系，用概率论的术语说是两个集合中的元素具有最大相吸关系，相互的吸引力最大，排斥力最小；

h＝0.75表示双方处在偏友好状态。它是居中的朋友关系，在特征空间E中，表现为集合X和集合Y是成比例的相交关系（交集的面积和两个因子集的面积成正比），用概率论的术语说是两个集合中的元素具有独立相关关系，相互的吸引力和排斥力相等；

h＝0.5表示双方处在不敌不友的中性状态。从朋友关系的角度看，中性状态在特征空间E中表现为集合X和集合Y尽可能不相交的关系，用概率论的术语说是两个集合中的元素具有最大相斥关系，相互的吸引力最小，排斥力最大。从敌对关系的角度看，中性状态是最弱的敌对关系，表现两个集合中的元素相互之间的自卫力最强，杀伤力最弱，叫最小相克关系；

h＝0.25表示双方处在偏敌对状态。它是居中的敌对关系，表现为两个集合中的元素相互之间的自卫力和杀伤力相等，叫僵持关系；

h＝0表示双方处在完全敌对状态。它是最强的敌对关系，表现为两个集合中的元素相互之间的自卫力最弱，杀伤力最强，叫最大相克关系。

广义相关系数h对逻辑运算模型的影响全部反映在T性生成元完整簇F(x, h)＝x^m, mÎ(－¥, ¥)上，其中：m＝(3－4h)/(4h(1－h))。当m®－¥时，F(x, 1)＝ite{1|x＝1; ±¥}; 当m®0^－时，F(x, 0.75^－)＝1＋logx; 当m®0^＋时，F(x, 0.75^＋)＝ite{0|x＝0; 1}; 当m＝1时，F(x, 0.5)＝x; 当m®¥时，F(x, 0)＝ite{1|x＝1; 0}。

F(x, h)对6种二元运算基模型L(x, y)的影响是

L(x, y, h)＝F^－1(L(F(x, h), F(y, h)), h)

3）命题真度误差的不确定性，它决定（或受制）于特征空间中使测度出现正误差的因素和使测度出现负误差的因素之间的矛盾，可以从最大正误差状态、无误差状态到最大负误差状态连续地变化。误差状态的不确定性用误差系数k∈[0, 1]来刻画，其中k＝1表示最大正误差状态，k＝0.5表示无误差状态，k＝0表示最大负误差状态。

真度误差状态的不确定性对连续值命题逻辑运算模型的影响完全反映在N性生成元完整簇F(x, k)＝xⁿ，nÎ(0, ¥)上，其中n＝－1/log₂k。当n®0时，F(x, 0)＝ite{0|x＝0; 1}; 当n＝1时，F(x, 0.5)＝x; 当n®¥时，F(x, 1)＝ite{1|x＝1; 0}。

F(x, k)对一元运算基模型N(x)的作用方式是

N(x, k)＝F^－1(N(F(x, k)), k)

它对二元运算基模型L(x, y)的作用方式是

L(x, y, k)＝F^－1(L(F(x, k), F( y, k)), k)

4）命题相对权重的不确定性，它决定（或受制）于特征空间中使命题权重相对增加的因素和使命题权重相对减少的因素之间的矛盾，可以从最大相对权重状态、平等权重状态到最小相对权重状态连续地变化。命题相对权重的不确定性用偏袒系数b∈[0, 1]来刻画，其中b＝1表示最大偏左状态，b＝0.5表示无偏袒状态，b＝0表示最小偏左状态。

偏袒系数b对柔性命题逻辑运算模型的影响完全反映在二元运算模型上^[10]，当b＝1时，y失去作用；当b＝0.5时，x, y平等起作用；当b＝0时，x失去作用。

b对二元运算基模型L(x, y)的作用方式是

L(x, y, b)＝L(2bx, 2(1－b)y)

k, h, b三个不确定参数及其调整函数变化图如图13所表。 k, h, b三者对二元运算模型L(x, y)共同的影响方式是

L(x, y, k, h, b)＝F^－1(F^－1(L(2b F(F(x, k), h), 2(1－b) F(F(y, k), h), h), k)

目前我们尚未发现第5种影响连续值命题逻辑运算模型的不确定性因素，已知的其他不确定性因素，如论域特性的不均匀性、信息的不完整性和动态性，应该在谓词逻辑层面解决。

图13k, h, b三个不确定参数及其调整函数变化图

根据上述关于影响连续值命题逻辑运算模型的不确定性因素的分析，搞清楚了有关辩证矛盾是如何决定不确定性的最大影响范围和影响方式，得到了它的调整函数，可以依据三角范数原理和逻辑运算公理，得到连续值逻辑代数中的各种运算模型。

（二）非运算公理及模型

1）非运算模型N(x)是[0, 1]®[0, 1]的一元运算，它必须满足以下的非运算公理：xÎ[0, 1]

边界条件N1N(0)＝1, N(1)＝0

单调性N2N(x)单调减, iff "x, yÎ[0, 1], 若x＜y, 则N(x)≥N(y)

逆等性N3 N(x)有逆等性, iff "xÎ[0, 1], N(x)＝N^－１(x), N^－１(x)是N(x)的逆

2）N₃＝ite{0|x＝1; 1}是最大非算子，N₀＝ite{1|x＝0; 0}是最小非算子，N₁＝1－x是中心非算子。

非运算模型只受误差系数k的影响，是一个N范数完整簇N(x, k), 它由生成基N(x)＝1－x和N性生成元完整簇F(x, k)＝x ⁿ, k＝2^{-1/n n}, n＝－1/log₂k相互作用而生成

N(x, k)＝F ^-1(1－F(x, k), k)＝(1－x ⁿ)^1/n

其中参数k是N(x, k)的不动点, 也是非运算中的阈元, 最大非算子是N₃＝N(x, 1), 中心非算子是N₁＝N(x, 0.5), 最小非算子是N₀＝N(x, 0)（见图14）。

图14非运算模型完整簇及其生成元完整簇

（三）与运算公理及模型

1) 与运算模型T(x, y)是[0, 1]²®[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的与运算公理: x, y, zÎ[0, 1]

边界条件T1T(0, y)＝0, T(1, y)＝y

单调性T2T(x, y)关于x, y单调增

结合律T3T(T(x, y), z)＝T(x, T(y, z))

上界性T4T(x, y)≤min(x, y)

2）与运算模型可受k, h, b的联合影响，是一个运算模型完整簇

T(x, y, k, h, b)＝(max(0, 2bx^nm＋2(1－b)y^nm－1))^1/mn

其中当b＝0.5时，偏袒性的影响消失，T(x, y, k, h)＝(max(0, x^nm＋y^nm－1))^1/mn

其中当k＝0.5时，误差的影响消失，T(x, y, h)＝(max(0, x^m＋y^m－1))^1/m

T(x, y, h)有四个特殊算子（见图15）:

图15特殊的h型与运算模型图

Zadeh与算子T(x, y, 1)＝T₃＝min(x, y)

概率与算子T(x, y, 0.75)＝T_２＝xy

有界与算子T(x, y, 0.5)＝T₁＝max(0, x＋y－1)

突变与算子T(x, y, 0)＝T₀＝ite{min(x, y)|max(x, y)＝1; 0}

（四）或运算公理及模型

1) 或运算模型S(x, y)是[0, 1]²®[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的或运算公理: x, y, zÎ[0, 1]

边界条件S1S(1, y)＝1, S(0, y)＝y

单调性S2S(x, y)关于x, y单调增

结合律S3S(S(x, y), z)＝S(x, S(y, z))

下界性S4S(x, y)≥max(x, y)

2）或运算模型可受k, h, b的联合影响，是一个运算模型完整簇

S(x, y, k, h, b)＝(1－(max(0, 2b(1－xⁿ)^m＋2(1－b)(1－yⁿ)^m－1))^1/m)^1/n

其中当b＝0.5时，偏袒性的影响消失，S(x, y, k, h)＝(1－(max(0, (1－xⁿ)^m＋(1－yⁿ)^m－1))^1/m)^1/n

其中当k＝0.5时，误差的影响消失，S(x, y, h)＝(1－(max(0, (1－x)^m＋(1－y)^m－1))^1/m

S(x, y, h)有四个特殊算子（见图16）:

Zadeh或算子S(x, y, 1)＝S₃＝max(x, y)

概率或算子S(x, y, 0.75)＝S_２＝x＋y－xy

有界或算子S(x, y, 0.5)＝S₁＝min(1, x＋y)

突变或算子S(x, y, 0)＝S₀＝ite{max(x, y)|min(x, y)＝0;1}

在S(x, y, k, h)和T(x, y, k, h)之间存在对偶律

N(S(x, y, k, h), k)＝T(N(x, k), N(y, k), k, h)

N(T(x, y, k, h), k)＝S(N(x, k), N(y, k), k, h)

当h∈[0.5, 1]时, S(x, y, h)和T(x, y, h)满足相容律

S(x, y, h)＋T(x, y, h)＝x＋y

图16特殊的h型或运算模型图

（五）蕴涵运算公理及模型

1) 蕴涵运算模型I(x, y)是[0, 1]²®[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的蕴涵运算公理: x, y, zÎ[0, 1]

边界条件I1I(0, y)＝1, I(1, y)＝y, I(x, 1)＝1

单调性I2I(x, y)关于y单调增, 关于x单调减

连续性I3 I(x, y)关于x, y连续

保序性I4I(x, y, k, h)＝1, iff x≤y (除h＝0和k＝1外)

推演性I5T(x, I(x, y))≤y (假言推论)

2）蕴涵运算模型可受k, h, b的联合影响，是一个运算模型完整簇

I(x, y, k, h, b)＝(min(1, 1－2bx^nm＋2(1－b)y^nm))^1/mn

其中当b＝0.5时，偏袒性的影响消失，I(x, y, k, h)＝(min(1, 1－x^nm＋y^nm))^1/mn

其中当k＝0.5时，误差的影响消失，I(x, y, h)＝(min(1, 1－x^m＋y^m))^1/m

I(x, y, h)有四个特殊算子（见图17）:

Zadeh蕴涵I(x, y, 1)＝I₃＝ite{1|x≤y; y}

概率蕴涵I(x, y, 0.75)＝I_２＝min(1, y/x) (Goguen蕴涵)

有界蕴涵I(x, y, 0.5)＝I₁＝min(1, 1－x＋y) (Lukasiewicz蕴涵)

突变蕴涵I(x, y, 0)＝I₀＝ite{y|x＝1; 1}

图17特殊的h型蕴涵运算模型图

（六）等价运算公理及模型

1) 等价运算模型Q(x, y)是[0, 1]²®[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的等价运算公理: x, y, zÎ[0, 1]

边界条件Q1 Q(1, y)＝y, Q(x, 1)＝x

单调性Q2 Q(x, y)关于|x－y|单调减

连续性Q3Q(x, y)关于x, y连续

保值性Q4Q(x, y)＝1, iff x＝y (除h＝0和k＝1外).

2）等价运算模型可受k, h, b的联合影响，是一个运算模型完整簇

Q(x, y, k, h, b)＝ite{(1＋|2bx^nm－2(1－b)y^nm|)^1/mn|m≤0; (1－|2bx^nm－2(1－b)y^nm|)^1/mn}

其中当b＝0.5时，偏袒性的影响消失，Q(x, y, k, h)＝ite{(1＋|x^nm－y^nm|)^1/mn|m≤0; (1－|x^nm－y^nm|)^1/mn}

其中当k＝0.5时，误差的影响消失，Q(x, y, h)＝ite{(1＋|x^m－y^m|)^1/m|m≤0; (1－|x^m－y^m|)^1/m}

Q(x, y, h)有四个特殊算子（见图18）:

图18特殊的h型等价运算模型图

Zadeh等价Q(x,y,1)＝Q₃＝ite{1|x＝y;min(x,y)}

概率等价Q(x,y,0.75)＝Q_２＝min(x/y,y/x) (I等价)

有界等价Q(x,y,0.5)＝Q₁＝1－|x－y|(S等价)

突变等价Q(x,y,0)＝Q₀＝ite{x|y＝1;y|x＝1;1}

（七）平均运算公理及模型

1) 平均运算模型M(x, y)是[0, 1]²®[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的平均运算公理: x, y, zÎ[0, 1]

边界条件M1min(x, y)≤M(x, y)≤max(x, y)

单调性M2 M(x, y)关于x, y单调增

连续性M3M(x, y)关于x, y连续

幂等性M4M(x, x)＝x

2）平均运算模型可受k, h, b的联合影响，是一个运算模型完整簇

M(x, y, k, h, b)＝(1－(b(1－xⁿ) ^m＋(1－b)(1－yⁿ) ^m)^1/m)^1/n

其中当b＝0.5时，偏袒性的影响消失，M(x, y, k, h)＝(1－((1－xⁿ) ^m＋(1－yⁿ) ^m)^1/m)^1/n

其中当k＝0.5时，误差的影响消失，M(x, y, h)＝1－( (1－x) ^m＋(1－y) ^m)^1/m

M(x, y, h)有四个特殊算子（见图19）:

Zadeh平均M(x, y, 1)＝M₃＝max(x, y)＝S₃

概率平均M(x, y, 0.75)＝M_２＝1－((1－x)(1－y))^1/2

有界平均M(x, y, 0.5)＝M₁＝(x＋y)/2(算术平均)

突变平均M(x, y, 0)＝M₀＝min(x, y)＝T₃

其中还有一些常见的平均算子,如

几何平均1－M(1－x, 1－y, 0.75)＝(xy)^1/2

调和平均1－M(1－x, 1－y, 0.866)＝2xy/(x＋y)

图19特殊的h型平均运算模型图

（八）组合运算公理及模型

1) 组合运算模型C^e(x, y)是[0, 1]²®[0, 1]的二元运算, 它必须满足以下的组合运算公理: x, y, zÎ[0, 1]

边界条件C1当x, y＜e时, C ^e(x,y)≤min(x, y); 当x, y＞e时, C ^e(x,y)≥max(x, y); 当x＋y＝2e时, C ^e(x, y)＝e; 否则, min(x, y)≤C ^e(x, y)≤max(x, y)

单调性C2 C ^e(x, y)关于x, y单调增

连续性C3C ^e(x, y)关于x, y连续

幺元律C4C ^e(x, e)＝x

2）组合运算模型可受k, h, b的联合影响，是一个运算模型完整簇

C^e(x, y, k, h, b)＝ite{min(e, (max(0, 2bx^nm＋2(1－b)y^nm－e^nm))^1/mn|2bx＋2(1－b)y＜2e; (1－(min(1－eⁿ,

(max(0, 2b(1－xⁿ)^m＋2(1－b)(1－yⁿ)^m－(1－eⁿ)^m))^1/m))^1/n)|2bx＋2(1－b)y＞2e; e}

其中当b＝0.5时，偏袒性的影响消失

C^e(x, y, k, h)＝ite{min(e, (max(0, x^nm＋y^nm－e^nm))^1/mn|x＋y＜2e; (1－(min(1－eⁿ,

(max(0, (1－xⁿ)^m＋(1－yⁿ)^m－(1－eⁿ)^m))^1/m))^1/n)| x＋y＞2e; e}

其中当k＝0.5时，误差的影响消失

C^e(x, y, h)＝ite{min(e, (max(0, x^m＋y^m－e^m))^1/m|x＋y＜2e; (1－(min(1－e,

(max(0, (1－x)^m＋(1－y)^m－(1－e)^m))^1/m)|x＋y＞2e; e}

C^e(x, y, h)有四个特殊算子（见图20）:

图20特殊的h型组合运算模型图

Zadeh组合C ^e(x,y,1)＝C^e₃＝ite{min(x,y)|x＋y＜2e;max(x,y)|x＋y＞2e;e}

概率组合C ^e(x,y,0.75)＝C^e_２＝ite{xy/e|x＋y＜2e;(x＋y－xy－e)/(1－e)|x＋y＞2e;e}

有界组合C ^e(x,y,0.5)＝C^e₁＝G¹[x＋y－e]

突变组合C ^e(x,y,0)＝C^e₀＝ite{0|x,y＜e;1|x,y＞e;e}

四、结论和展望

（一）不确定性与辩证矛盾密切相关

不确定性可能由于多种原因引起，如随机性，模糊性，二重性，已知信息不完全，事物本身的发展变化，干扰和虚假信息等。但要全面把握一种不确定性的影响范围和变化规律，必须分析蕴涵在其中的辩证矛盾。人们一般只注意到事物的不确定性，而忽视引起和制约事物不确定性的内在矛盾，其实不确定性只是事物本身具有的辩证矛盾的外在表现，辩证矛盾才是引起事物不确定性的内在原因，我们把这两者紧密结合起来统一研究，才取得了这些有用的成果。

（二）连续值逻辑可以在排除逻辑矛盾的同时包容辩证矛盾

我们应该严格区分两类不同的矛盾：逻辑矛盾和辩证矛盾。逻辑矛盾是应该在理论系统中排除的理论缺陷，如果容忍它的存在，这个理论系统就会面临崩溃的危险，形成所谓的理论危机。在科学发展史上，由于逻辑矛盾引起的理论危机频频出现，这并不都是坏事。因为在一个理论系统内部出现的逻辑矛盾，它往往揭露的是系统的理论缺陷，解决它可以推动该理论系统的完善；如果在一个理论系统外部出现了逻辑矛盾，它暴露的是这个理论的应用局限性，解决它往往可以推动该理论系统向更高级的阶段发展。而辩证矛盾则不同，它通常是现实问题中不可忽略的重要因素，是事物发展变化的内在原因和动力。

标准逻辑不允许一切形式的矛盾和不确定性存在，它只能在确定的真/假分明的理想世界中使用。现实世界中普遍存在着辩证矛盾和不确定性，不妥善解决这个问题，逻辑学无法面对现实问题。所以非标准逻辑不能简单地将辩证矛盾排斥在外，而应该正面研究辩证矛盾的有关规律，并利用这些规律使事物向着有利的方向发展。这就是说，非标准逻辑应该能够在排除逻辑矛盾的同时包容各种辩证矛盾，本文成功地在连续值逻辑代数中包容了4种辩证矛盾，它们是影响连续值命题逻辑运算模型的最基本的不确定性因素，目前尚未发现第5种这样的因素。已知的其他不确定性因素，如论域特性的不均匀性、信息的不完整性和动态性，应该在命题逻辑运算模型之外寻求解决方法。

（三）不确定性使连续值逻辑变成了一个逻辑谱

不确定因素的引入，使由一组逻辑算子组成一个逻辑系统的传统概念发生了改变，一个逻辑系统可由无穷多组逻辑算子组成，在不同的条件下应该使用不同的逻辑算子组。图21是只考虑广义相关性h的情况，它是一个连续变化的逻辑谱，包含无穷多组逻辑算子，形成了无穷多种逻辑系统，如h=1是模糊逻辑，h=0.75是概率逻辑，h=0.5是Luckasiewicz逻辑等。图22是同时考虑h和误差k的情况，其中h<0.5是还没有人讨论过的相克类逻辑，h³0.5是相生类逻辑，常见的模糊逻辑、概率逻辑、Luckasiewicz逻辑、可能逻辑、必然逻辑、似然逻辑和信任逻辑都在其中。

图21h型逻辑谱

图22hk型逻辑谱

在逻辑谱SL (h) 的基础上，向上可以利用升维规则得到n-维连续值逻辑。向下可以利用降值规则得到多值逻辑和二值逻辑（见图23）。

例如，根据h型逻辑谱，运用规则直接生成了各种可能存在的三值逻辑系统，具体规则如下：

在三值逻辑中，幺元e只能是0.5，h有三种不同的取值：h＝1, h＝0.5, h＝0，所以三值逻辑有三种不同的类型，分别称为3型三值逻辑，1型三值逻辑和0型三值逻辑。其中

3型三值逻辑由协调的模糊逻辑系统L_h(x, y, h), x, y∈[0, 1], h＝1退化而成。

1型三值逻辑由完善的Luckasiewicz逻辑系统L_h(x, y, h), x, y∈[0, 1], h＝0.5退化而成。

0型三值逻辑由突变逻辑系统L_h(x, y, h), x, y∈[0, 1], h＝0退化而成。

在三值逻辑中，u又有三种不同的语义解释：u＝0.5，u＝不知道，u＝过渡态，它们都满足0≤u≤1。按照u的语义不同，1型三值逻辑又有4种不同的亚型（3型三值逻辑和0型三值逻辑没有亚型）。总共有6种，它们共同组成了一个离散型的三值逻辑谱。这是我们已经发现的最小的逻辑谱。三值逻辑谱中的各种逻辑算子的定义见表6，整个三值逻辑谱中各种逻辑的算子组成和基本性质见表7。

图23h型逻辑谱的应用

 

表6三值逻辑谱中的各种逻辑算子的定义

 

表7三值逻辑谱中各种逻辑的算子组成和基本性质

其中×表示该算子已经退化为或算子。

（四）逻辑的信息本质和健全性

1) h,k型逻辑谱是一个健全的逻辑系统，它能够全部满足逻辑学的6个基本性质：

L1S(x, x, 1, k)＝x因为命题和它自己最大相吸。

L2T(x, x, 1, k)＝x因为命题和它自己最大相吸。

L3T(x, N(x, k), 0.5, k)＝0因为命题和非命题最大相斥。

L4S(x, N(x, k), 0.5, k)＝1因为命题和非命题最大相斥。

L5N(N(x, k), k)＝x因为命题的否定之否定是原命题。

L6T(x, I(x, y, h, k), h, k)≤yMP规则对所有的h都成立。

在连续值逻辑系统中，有了这6个基本性质，就可以保证在推理过程中，信息不会发生畸变。例如有了L1和L2可以保证同一个命题经过反复调用其真值不变；有了L3和L4可以保证同一个命题和它的非命题之间既没有重叠，也没有间隙；有了L5可保证对合律；有了L6可保证“与”和“蕴涵”的互补对关系。所以我们称具有为L1—L6性的逻辑系统叫健全的系统，它不同于系统的可靠性或完备性。

2) 新的模糊逻辑系统L_h(x, y, h), x, y∈[0, 1], h＝1

目前的模糊逻辑系统不协调，不完善和健全，由h型逻辑谱可得到新的模糊逻辑系统如下：

非运算N(x)＝1－x

与运算T(x, y, 1)＝min(x, y)

与运算*T(x,y, 0.5)＝max(0, x＋ y－1) （y=N(x)时用）

或运算S(x, y, 1)＝max(x, y)

或运算*S(x, y, 0.5)＝min(1, x＋ y) （y=N(x)时用）

蕴涵运算I(x, y, 1)＝ite{1|x≤y; y}

等价运算Q(x, y, 1)＝ite{1|x＝y; min(x, y)}

平均运算M(x, y, 1)＝max(x, y)

组合运算C^e(x, y, 1)＝ite{min(x, y)|x＋y＜2e; max(x, y)|x＋y＞2e; e}

3）新的概率逻辑系统L_h(x, y, h), x, y∈[0, 1], h＝0.75

目前的各种概率逻辑系统都不完善和健全，由h型逻辑谱可得到新的概率逻辑系统如下：

非运算N(x)＝1－x

与运算*T(x, y, 1)＝min(x, y)（y=x时用）

与运算T(x, y, 0.75)＝xy

与运算*T(x, y, 0.5)＝max(0, x＋y－1)（y=N(x)时用）

或运算*S(x, y, 1)＝max(x, y)（y=x时用）

或运算S(x, y, 0.75)＝x＋y－xy

或运算*S(x, y, 0.5)＝min(1, x＋y)（y=N(x)时用）

蕴涵运算I(x, y, 0.75)＝min(1, y/x)

等价运算Q(x, y, 0.75)＝min(x/y, y/x);

平均运算M(x, y, 0.75)＝1－((1－x)(1－y))^1/2

组合运算C^e(x, y, 0.75)＝ite{xy/e|x＋y＜2e; 1－(1－x)(1－y)/(1－e)|x＋y＞2e; e}

4）新的Luckasiewicz逻辑系统L_h(x, y, h), x, y∈[0, 1], h＝0.5

目前的Luckasiewicz逻辑系统不完善和健全，由h型逻辑谱可得到新的Luckasiewicz逻辑系统如下：

非运算N(x)＝1－x

与运算*T(x, y, 1)＝min(x, y)（y=x时用）

与运算T(x, y, 0.5)＝max(0, x＋y－1)

或运算*S(x, y, 1)＝max(x, y) （y=x时用）

或运算S(x, y, 0.5)＝min(1, x＋y)

蕴涵运算I(x, y, 0.5)＝min(1, 1－x＋y)

等价运算Q(x, y, 0.5)＝1－|x－y|

平均运算M(x, y, 0.5)＝(x＋y)/2

组合运算C^e(x, y, 0.5)＝min(1, max(0, x＋y－e))

5）突变逻辑系统L_h(x, y,h), x, y∈[0, 1], h＝0

根据h型逻辑谱中h＝0的逻辑运算模型，提出了一个新的突变逻辑系统如下：

非运算N(x)＝1－x

与运算*T(x, y, 1)＝min(x, y)（y=x时用）

与运算*T(x, y, 0.5)＝max(0, x＋y－1)（y=N(x)时用）

与运算T(x, y, 0)＝ite{min(x, y)|max(x, y)＝1; 0}

或运算*S(x, y, 1)＝max(x, y)（y=x时用）

或运算*S(x, y, 0.5)＝min(1, x＋y)（y=N(x)时用）

或运算S(x, y, 0)＝ite{max(x, y)|min(x, y)＝0; 1}

蕴涵运算I(x, y, 0)＝ite{y|x＝1; 1}

等价运算Q(x, y, 0)＝ite{x|y＝1; y|x＝1; 1}

平均运算M(x, y, 0)＝min(x, y)

组合运算C^e(x, y, 0)＝ite{0|x, y＜e; 1| x, y＞e; e}

6） 三值逻辑谱的健全性。从表7可以看出, 每个三值逻辑都不健全, 但由7个三值逻辑组成的三值逻辑谱是健全的。可见, 如果每个三值逻辑中都有∧₁, ∧₂, ∨₁,和∨₂, 在不同的情况下分别使用，则每个三值逻辑系统都可以成为健全的逻辑系统。

（五）连续值逻辑代数是建立数理辩证逻辑的重要基础

建立数理辩证逻辑有两个主要的途径：一是在二值逻辑的基础上，借用次协调逻辑^[11]（para-consistent logic）的思想研究和建立可以包容和处理多对二值矛盾命题 A/~A; B/~B; C/~C; ××××××的超协调逻辑（super-consistent logic）；另外一个途径是在连续值逻辑代数的基础上建立可以包容和处理各种辩证命题连续值逻辑，所以连续值逻辑代数是建立数理辩证逻辑的重要基础之一。

 

【注释】

本文研究得到国家自然科学基金(60273087)和西北工业大学基础研究基金重点项目（W018101）的资助。

 

【参考文献】

[1] 何华灿,马盈仓主编,信息、智能与逻辑（第一卷）,西安：西北工业大学出版社,2008, pp 4-10

H. C. He, Y. C. Ma，Ed., Information, Intelligence and Logics, Volume 1 (Northwestern Polytechnical University Press, Xi’an, 2008) pp 4-10.

[2] 彭漪涟，马钦荣主编，逻辑学大辞典[M].上海:上海辞书出版社，2004

Peng Y. L., Ma Q. R., Logic Dictionary, Shanghai Lexicographical Publishing House, Shanghai, 481 (2004).

[3] Huacan He, Zhitao He, Yingcang Ma, Lirong Ai, Philosophical Significance of Universal Logic---On Second Revolution of Mathematical Logic[J]. Logica Universalis, Vol.1, No.1 (2007) and Perspectives on Universal Logic. ISBN: 978-88-7699-077-9 Editors: Jean-Yves Beziau & Alexandre Costa-Leite. pp: 83-100.

[4] 何华灿，艾丽蓉，王华，辩证逻辑的数学化趋势[J]. 河池学院学报，2007年第01期

[5] Dov M. Gabbay, F. Guenthner (eds.): Handbook of Philosophical Logic[M]. Second Edition, 2001

[6] 何华灿, 王华, 刘永怀等，泛逻辑学原理[M]. 北京：科学出版社, 2001

Huacan He, Hua Wang, Yonghuai Liu, Principle of Universal Logics[M], Beijing：Sciene Press & Xi’an: NWPU Press, 2006

[7] 陆钟万, 面向计算机科学的数理逻辑[M]. 北京:科学出版社, 1998．

[8] P. Roeper, H. Leblanc. Probability Theory and Probability Logic[M]. University of Toronto Press Incorporated, 1999

[9] 王元元, 计算机科学中的逻辑[M]. 北京: 科学出版社, 1989

[10] 贾澎涛，基于柔性逻辑的时间序列数据挖掘研究[D].西安:西北工业大学，2008

[11] 桂起权，陈自立，朱福喜，次协调逻辑与人工智能[M]. 武汉: 武汉大学出版社，2002

（原载何华灿，马盈仓，编《信息、智能与逻辑（2卷）》，西北工业大学出版社，2010年。）