【杜国平】三值逻辑Sheffer函数

在文[1]中，我们给出了二值n元Sheffer函数的研究结果。本文拟采用完全析取范式、完全合取范式来考察三值二元Sheffer函数的一些情况。

定义1是三值逻辑一元算子，★、☆、∨、∧为三值逻辑二元算子，其真值表如下：

 

p	p
2	1
1	0
0	2

 

 

定义2由★或☆将命题变元p或其否定式 p、 p联结而成的公式称为广义合取子式。

定义3与公式A等值的符合下列条件的公式A 称为公式A的完全析取范式。

[1] A 形如：

A₁∨A₂∨…∨A_i∨…∨A_k

其中每个A_i (i=1，2，…，k)均为广义合取子式；

[2]公式A中的命题变元均在A_i (i=1，2，…，k)中出现；

[3]广义子式内按字母序排列，广义子式间按★、☆及p、 p、 p顺序排列。

例如，由上述真值表容易看出公式p∧q的完全析取范式为：

(p★q)∨(p☆ q)

∨( p☆q)∨( p☆ q)

任一三值逻辑公式都可以通过真值表方法给出其在所有可能赋值情况下的值，所以显然有：

定理1任一三值逻辑公式都存在唯一的完全析取范式。

定理2三值逻辑算子集{ ，★，☆，∨}是函数完全的。

定理3三值逻辑算子集{ ，★，∨}和{ ，☆，∨}是函数完全的。

证明：

p★q ＝_def ( (p☆q)☆ (p☆q))

def ( (p★q)★ (p★q))

定理4三值逻辑算子集{ ，∨}是函数完全的。

证明：

p★q ＝_def ( p∨ p∨ q∨ q)

p☆q ＝_def ( ( p∨ p∨ q∨ q)

∨ ( p∨ p∨ q∨ q))

定义4△、▲为三值逻辑二元算子，其真值表如下：

 

 

定义5由△或▲将命题变元p或其否定式 p、 p联结而成的公式称为广义析取子式。

定义6与公式A等值的符合下列条件的公式A 称为公式A的完全合取范式。

[1] A 形如：

A₁∧A₂∧…∧A_i∧…∧A_k

其中每个A_i (i=1，2，…，k)均为广义析取子式；

[2]公式A中的命题变元均在A_i (i=1，2，…，k)中出现；

[3]广义子式内按字母序排列，广义子式间按▲、△及p、 p、 p顺序排列。

例如，由上述真值表容易看出公式p∨q的完全合取范式为：

(p▲q)∧(p△ q)

∧( p△q)∧( p△ q)

定理5 任一三值逻辑公式都存在唯一的完全合取范式。

定理6 三值逻辑算子集{ ，▲，△，∧}是函数完全的。

证明：

p∨q＝_def(p▲q)∧(p△ q)

∧( p△q)∧( p△ q)

根据定理4：三值逻辑算子集{ ，▲，△，∧}是函数完全的。

定理7 三值逻辑算子集{ ，∧}是函数完全的。

证明：

p▲q ＝_def ( p∧ p∧ q∧ q)

p△q ＝_def ( ( p∧ p∧ q∧

q) ∧ ( p∧

p∧ q∧ q)

定义7＊为三值逻辑二元算子，并且令

p＊q ＝_def p∨ q

定理8＊是三值逻辑二元Sheffer函数。

证明：

p＝_def p＊p

p∨q＝_def ((p＊p)＊(p＊p))＊((q＊q)＊(q＊q))

由定理4可知：＊是三值逻辑二元Sheffer函数。

定理9由下列表达式确定的三值逻辑二元算子均为Sheffer函数：

S₁pq＝_def p∧ q

S₂pq＝_def (p∧q)

S₃pq＝_def (p∨q)

S₄pq＝_def (p∨q)

S₅pq＝_def (p∧q)

S₆pq＝_def p∧ q

S₇pq＝_def p∨ q

S₈pq＝_def ( p∧ q)

S₉pq＝_def ( p∨ q)

S₁₀pq＝_def ( p∧ q)

S₁₁pq＝_def ( p∨ q)

证明：因为我们有：

p＝_def S₁pp

p∧q＝_def S₁ p q

由定理7可知，S₁pq是Sheffer函数。

同样，由于有：

p＝_def S₂pp

p∧q＝_def S₂pq

p＝_def S₃pp

p∨q＝_def S₃pq

p＝_def S₄S₄ppS₄pp

p∨q＝_def S₄pq

p＝_def S₅S₅ppS₅pp

p∧q＝_def S₅pq

p＝_def S₆S₆ppS₆pp

p∧q＝_def S₆ p q

p＝_def S₇S₇ppS₇pp

p∨q＝_def S₇ p q

p＝_def S₈S₈ppS₈pp

p∧q＝_def S₈ p q

p＝_def S₉S₉ppS₉pp

p∨q＝_def S₉ p q

p＝_def S₁₀pp

p∧q＝_def S₁₀ p q

p＝_def S₁₁pp

p∨q＝_def S₁₁ p q

由定理4和定理7可得，S₂～S₁₁都是Sheffer函数。

 

【参考文献】

[1] 杜国平. 单独函数完全的算子[J]. 哲学研究2000年第6期. P52-55.

[2] 杜国平. 经典逻辑与非经典逻辑基础[M]. 教育部推荐“研究生教学用书”. P68-71.

[3] 周礼全. 逻辑百科辞典[M]. 四川教育出版社, 1994. P585.

[4] A,G.Hamilton. Logic for Mathematicians[M]. 清华大学出版社, 2003. P27-44.

[5] 朱梧槚 肖奚安. 数理逻辑引论[M]. 南京大学出版社, 1995. P63-78

 

 

（原载《哲学动态》2005年逻辑学专辑）