【罗翊重】对逻辑推理四大基础类型的反演算和非演算

 

“有一个爱好虚构的思辨体系，但思想极其深刻的研究人类发展基本原则的学者一向认为,自然界的基本奥秘之一,就是他所说的对立统一［contact of extremes］规律。在他看来，‘两极相逢’这个习俗用语是伟大而不可移易的适用于生活一切方面的真理，是哲学家不能漠视的定理，就象天文学家不能漠视刻卜勒的定律或牛顿的伟大发现一样。”

——卡尔·马克思

 

相同者必存在互蕴公理[①]⊨ [⊢( ＝ )→⊢□( E!↔ E!)]的意义是：

对任意的 ，因为( ＝ )真(⊢)，所以( E!↔ E!)必然真(⊢□)成立(⊨)。

相反者必存在互蕴公理[②]⊨ [⊢( ∝ )→⊢□( E!↔ E!)]的意义是：

对任意的 与 ，因为( ∝ )真(⊢)，所以( E!↔ E!)必然真(⊢□)成立(⊨)。

此两公理在逻辑推理基础类型(LTJL）理论中，踞于双闭区间[0,1]中相反对立的两极位置。若用0代表“相同所指”( ＝ ），用1代表“相反所指”( ∝ )，则逻辑推理基础类型及其相互关系的讨论，就可在一个新的视角获得全新的认识。

因为当把0、1作为最根本的对立两极逻辑推理基础类型时，就可依据双闭区间[0,1]所用的“二极坐标”定位，进而再作更深入、更细致的兼含双开区间(0,1)这一中间项的“三极坐标”定位，即[0,(0,1),1]。这样，就既能为揭示主谓项皆相同的形式逻辑推理类型(＝)、为揭示主谓项皆相反的辩证逻辑推理类型(∝)，即{＝,∝}，还能为极限值趋向于(⇥)主谓项相同的主谓项有相似项的相似逻辑推理类型(∽)、极限值趋向于(⇥)主谓项相反的主谓项有相异项的相异逻辑推理类型(≠)，即{∽,≠}，都做好逻辑推理基础类型的准确定位。此定位源于[＝,(＝,∝),∝]即[＝,∽∩≠,∝]，而成于[＝⇤∽∩≠⇥∝]。

基于上述观念，可以将所述两大类逻辑推理基础类型{＝,∝}与{∽,≠}，以及此4大组成要素间通过中间项∽∩≠结合两极项{＝,∝}的“三极对立统一”的组成关系，即[＝⇤∽∩≠⇥∝]，更全面地解析如下。

 

一、对逻辑基础类型词的反演算和非演算

 

1.开闭区间组成与易经8大阴阳范畴组成

讨论逻辑推理基础类型{＝,∝}与{∽,≠}及其相互间对立统一的组成关系[＝⇤∽∩≠⇥∝]问题时，有必要在对《易经》已有8大阴阳矛盾范畴认识的基础上^{[1](P39～40)}，将数学中的“开闭区间”概念，也自然地溶进更精确更细微的中国传统《易经》哲学的8大阴阳矛盾范畴关系之中，并作如下组成的简要说明：

(1)太极(未展开的双闭区间，0≤θ≤1)：[0,1]，

(2)小阴(θ＝0)：0，

(3)小阳(θ＝1)：1，

(4)大阴(左闭右开区间，0≤θ＜1)：[0,1)＝0∪(0,1)，

(5)大阳(左开右闭区间，0＜θ≤1)：(0,1]＝(0,1)∪1，

(6)对立(θ＝0,1)：0∪1＝{0,1}，

(7)中和(双开区间，0＜θ＜1)：(0,1)＝[0,1)∩(0,1]，

(8)太和(已展开的双闭区间，0≤θ≤1)：

[0,(0,1),1]＝[0,1)∪(0,1]＝(0,1)∪{0,1}

＝0∪(0,1]＝[0,1)∪1

＝0∪(0,1)∪1＝[0,1)∪(0,1)∪(0,1]．^[1](P40)

2.开闭区间组成与逻辑推理基础类型组成

因为两条“相同方向”平行线(⇇）的夹角(θ)为0π，故可用“0”表示相同关系“＝”，又因两条“相反方向”平行线(⇆）的夹角(θ)为1π，故可用“1”表示相反关系“∝”——“∝”正是“＝”扭转1个π角而呈麻花状形成的。据此，源于所指Ψ_j与Ω_j间的相同(＝)、相似(∽)、相异(≠)、相反(∝)这4大逻辑推理基础类型的组成关系，就一一对应着如下的区间关系：

(1)太极(未展开的双闭区间)：[＝,∝]，

(2)小阴：＝，

(3)小阳：∝，

(4)大阴(左闭右开区间)：[＝,∝)＝(∽)，

(5)大阳(左开右闭区间)：(＝,∝]＝(≠)，

(6)对立：(＝∪∝)＝{＝,∝}，

(7)中和(双开区间)：(＝,∝)＝[＝,∝)∩(＝,∝]＝(∽∩≠)，

(8)太和(已展开的双闭区间)：

[＝,(∽,≠),∝]＝[＝,∝)∪(＝,∝]＝(∽∩≠)∪{＝,∝}

＝(＝)∪(＝,∝]＝[＝,∝)∪(∝)

＝(＝)∪(∽∩≠)∪(∝)＝[＝,∝)∪(∽∩≠)∪(＝,∝]．

3.逻辑推理基础类型组成的对立统一整体

上述4大逻辑推理基础类型在其开闭区间中的组成情况，正显示出了由阴阳8大矛盾范畴的各个组成部份所结成的“三极对立统一”整体，即[＝⇤∽∩≠⇥∝]。可以用t-u区间线将其组成关系形象地表示如下：

 

∽⊃＝,∽*＝

＝t)∽∩≠*u∝

≠⊃∝,≠*∝

 

图1：逻辑关系＝、∽、≠、∝组成的三极对立统一整体

 

可以看出，图1所示的整个双闭区间的组成关系是：相似关系(∽)包含(⊃)相同关系(＝),相似关系(∽)趋向的极限(*)是相同关系(＝)；相异关系(≠)包含(⊃)相反关系(∝),相异关系(≠)趋向的极限(*)是相反关系(∝)。

4.逻辑推理基础类型词的反演算和非演算

逻辑学早有公论：任何词项(包括描述词和逻辑词)皆有内涵和外延意义。^{[4](P85～88)}

如图1所示，由逻辑关系类型词‘＝’、‘∽’、‘≠’、‘∝’所构成的开闭区间的逻辑意义是：

内涵性的概念意义，就是自然语言本身的字面意义——对字词句串的内省性的代数函数意义(以n个字或词或句的内涵意义作“自变元”，从而得到由此n个字或词或句复合成的字串或词串或句串的内涵性的“函数”意义，即 (X₁X₂…X_n)＝f( X₁, X₂,…, X_n))；

外延性的组成意义，就是t－u期间线的组成意义——对空间形象的外观性的几何图象意义（由 (X₁X₂…X_n)＝f( X₁, X₂,…, X_n)所决定的外延性的“图象”意义）。

对内涵意义的反演算，就是对n个bit长度的代数解析式之内涵意义的反演(～)形式变换，而对外延意义的非演算，就是对由此代数解析式之内涵意义所决定的几何化的图象之外延意义的非演( )形式变换。辩证数理逻辑的此两种不同类型的否定演算间的关系，如同解析几何通过直角坐标系，已经将代数函数的变换与几何图形的变换有机地结合起来一样！

由于内涵性的辩证逻辑具有代数学的解析意义，而外延性的形式逻辑具有几何学的图象意义，因此它们都是可以形式,,化、演算化的！由此，如果以内涵标记符“ ”来标记逻辑类型字或词或句的内涵意义，以外延标记符“ ”来标记逻辑类型字或词或句的外延意义，那么我们就可以对4大逻辑推理基础类型的字或词或句进行内涵性的反称演算(～)和外延性的排除演算( )了：

(1)∵＝与∝类型词的概念意义相反，即 ＝( 相同项)∝ ∝( 相反项)，

∴～( ＝)＝( ∝)，

～( ∝)＝( ＝)；

(2)∵∽与≠类型词的概念意义相反，即 ∽( 相似项)∝ ≠( 相异项)，

∴～( ∽)＝( ≠)，

～( ≠)＝( ∽)；

(3)∵∽∩≠与＝∪∝类型词的概念意义相反，即

(∽∩≠)( 中间项)∝ (＝∪∝)( 两端项)，

∴～ (∽∩≠)＝ (＝∪∝)，

～ (＝∪∝)＝ (∽∩≠)；

(4)∵[＝,∝]与[＝,∽∩≠,∝]类型词的概念意义相反(虽然其外延的组成意义相同)，

即 [＝,∝]( 隐藏中间项的闭区间)∝ [＝,∽∩≠,∝]( 显示中间项的闭区间)，

∴～ [＝,∝]＝ [＝,∽∩≠,∝]，

～ [＝,∽∩≠,∝]＝ [＝,∝]．

上面笔者已经揭示出了8大组成词项间在内涵意义上的概念反称演算，下面还要揭示出此8大组成词项间在外延意义上的组成排除演算(这从图1就可直观地看出)：

(5) ( ＝)＝( ≠),

( ≠)＝( ＝)；

(6) (^∘∝)＝(^∘∽)，

( ∽)＝( ∝)；

(7) { ＝, ∝}＝ ( ＝∪ ∝)＝ ( ＝)∩ ( ∝)

＝( ≠)∩( ∽)＝( ^∘∽∩ ^∘≠),

( ∽∩ ≠)＝ ( ∽)∪ ( ≠)＝( ∝)∪( ＝)

＝( ＝∪ ∝)＝{ ＝, ∝}；

(8)∵[ ＝, ∝]＝[ ＝,( ＝, ∝), ∝]

        　　　　　＝[ ＝∪( ∽∩ ≠)∪ ∝]＝Ｕ(全类或全集合体)，

∴ [ ＝, ∝]＝ [ ＝,( ＝, ∝), ∝]

＝ [ ＝∪( ∽∩ ≠)∪ ∝](对等式两边同施逻辑否定)

＝ ( ＝)∩ ( ∽∩ ≠)∩ ( ∝)(依据类或集合体运算的逻辑否定规则)

＝( ≠)∩( ＝∪ ∝)∩( ∽)[依据(7)]

＝( ≠)∩( ∽)∩( ＝∪ ∝)(依据类或集合体运算的交换律)

＝(^∘∽∩^∘≠)∩ (^∘∽∩^∘≠)[依据(7)]

＝Φ(空类或空集合体)．

对上述已显露出“三极对立统一”之整体组成的4大逻辑基础类型词(逻辑词),(1)至(4)已对其进行了内涵性概念意义的反称演算(～)，(5)至(8)已对其进行了外延性组成意义的排除演算( )。可以将其概念内涵间的反演算(虚线表示)和组成外延间的非演算(实线表示)，简示为图2：

 

(＝,∝)＝(∽∩≠)＝¬ (＝∪∝)

 

¬(∝) ＝(∽) ~ (∝) (≠)＝¬(＝)

Φ＝¬ [＝,∝] ,∪¬∪,¬[＝,∽∩≠,∝]＝Φ

¬(≠) ＝(＝)~ (∝) ( ∝)＝¬(∽ )

 

{＝,∝}＝(＝∪∝)＝¬ (∽∩≠)

 

图2：对逻辑类型词＝、∽、≠、∝的非反演算^[1](P41)

 

从《易经》象数学的观点看^{[6](P288～291)}，图2虚线表示的4对具有内涵相反意义的概念，皆是中国传统《易经》阴阳哲学8大矛盾范畴之自然语言词串的内涵意义，在逻辑推理基础类型关系上的部分呈现：

(1) 小阴( ＝)与 小阳( ∝)的内涵相反( )，

(2) 大阴( ∽)与 大阳( ≠)的内涵相反( )，

(3) 太极( [＝,∝])与 太和( [＝,(∽∩≠),∝])的内涵相反( )，

(4) 小阴( ＝)与 大阳( ≠)的内涵相反( )，

(5) 大阴( ∽)与^∙小阳( ∝)的内涵相反( )，

(6) 小阴( ＝)与 大阴( ∽)的内涵相反( )，

(7) 小阳( ∝)与^∙大阳( ≠)的内涵相反( )，

(8) 对立( (＝∪∝))与 中和( (∽∩≠))的内涵相反( )。

对此8对在“自然语言词串的内涵意义”上，所呈现出内涵相反关系的逻辑推理基础类型词，若从外延的角度看，这也是中国传统《易经》阴阳哲学8大矛盾范畴之外延组成意义，在逻辑推理基础类型关系上的部分呈现：

(1') 小阴( ＝)与 小阳( ∝)的外延相反( )，

(2') 大阴( ∽)与 大阳( ≠)的外延相反( )，

(3') 太极(^∘[＝,∝])与 太和(^∘[＝,(∽∩≠),∝])的外延相同(＝)，

(4') 小阴( ＝)与 大阳( ≠)的外延既不相反又不相同( ∧≠)，

(5') 大阴( ∽)与 小阳( ∝)的外延既不相反又不相同( ∧≠)，

(6') 小阴( ＝)与 大阴( ∽)的外延既不相反又不相同( ∧≠)，

(7') 小阳( ∝)与 大阳( ≠)的外延既不相反又不相同( ∧≠)，

(8') 对立( (＝∪∝))与 中和( (∽∩≠))的外延既不相反又不相同( ∧≠)。

笔者还可以举出其它的同类型逻辑关系词的例子，来说明或验证中国传统《易经》辩证哲学所揭示出的、关于8大阴阳矛盾范畴间的两种不同性质的否定演算——外延排除演算( )和内涵反称演算(～)——之作用特征是根本就不相同的！

因为对同一被否定对象，其外延的并非否定演算( )，与内涵的反称否定演算(～)，其否定的实质根本就不相同，因此其否定演算结果也是大多不相同的！比如：

 

(互蕴的同真值函数即:并非互斥的异真值函数)

↔＝(→∧←)＝<1,0,0,1>

(正蕴涵的真值函数)(反蕴涵的真值函数)

→＝<1,0,1,1> ~ (∝) ←＝<1,1,0,1>

[↚,↛] ∪ ¬ ∪ [↚,↔,↛]

↚＝<0,0,1,0>~ (∝) ↛＝<0,1,0,0>

(并非反蕴涵的真值函数)(并非正蕴涵的真值函数)

↮＝(↚∨↛)＝<0,1,1,0>

(并非互蕴的同真值函数即:互斥的异真值函数)

 

图3：对蕴涵命题之逻辑关系词的非反演算^[4](P48)

 

(中和项的偶然真值即并非对立项的必然真值)

¯t∧¯f

(大阳项的可能真)(大阴项的可能假)

¯t~ (∝) ¯f

[£t,£f] ∪ ¬ ∪ [£t,¯t∧¯f,£f]

£t~ (∝)£f

(小阳项的必然真) (小阴项的必然假)

£t∨£f

(并非中和项的偶然真值即对立项的必然真值)

 

图4：对认知模态真值词的非反演算^[4](P48)

 

由上述实例已经可以说明：在辩证逻辑的形式化研究中，用经典数理逻辑的外延排除否定( )之思路，来表达辩证逻辑的内涵反称否定(～)之思想——如同次谐调逻辑学家们所做的一样，此种未加哲学反思就不自觉地以外延性的“ ”否定来替代内涵性的“～”否定，其实根本就不可能真正地体现出辩证逻辑对“自然语言词串”本身的内涵反称否定演算之思想精髓的！

深入了解中国传统《易经》辩证哲学所揭示出的8大阴阳矛盾范畴间的“内涵相反关系”与其“外延相应关系”的同构性与异构性问题，是正确理解辩证逻辑所特有的内涵反称演算(～)的关键！^{[4](P90～96)}笔者对此种同构性与异构性的分析，可以在以后的论证中逐步显露出来。

 

二、对逻辑推理公理式的反演算和非演算

 

依据上述讨论，可揭示出4大逻辑公理成立(⊨)的推理意义如下(j＝1,2,…,n,…)。

【OO】相同者必存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j＝Ω_j)→□(Ψ_jE! Ω_jE!)]：

对任意的( )Ψ_j与Ω_j，若它们相同，则存在(E!)Ψ_j与Ω_j间的必互蕴(□↔)成立(⊨)。

【OI】相似者可存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∽Ω_j)→¯(Ψ_jE! Ω_jE!)]：

对有的( )Ψ_j与Ω_j，若它们相似，则存在(E!)Ψ_j与Ω_j间的可互蕴(¯↔)成立(⊨)。

【IO】相异者可存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j≠Ω_j)→¯(Ψ_jE! Ω_jE!)]：

对有的( )Ψ_j与Ω_j，若它们相异，则存在(E!)Ψ_j与Ω_j间的可互蕴(¯↔)成立(⊨)。

【II】相反者必存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∝Ω_j)→□(Ψ_jE! Ω_jE!)]：

对任意的( )Ψ_j与Ω_j，若它们相反，则存在(E!)Ψ_j与Ω_j间的必互蕴(□↔)成立(⊨)。[③]

上述4大公理式，皆可再表现为内涵公理或外延公理，这只需在4大公理式之变元Ψ_j与Ω_j的左上角一致地加上或者内涵标记符“ ”或者外延标记符“ ”即可形成。本文以代入法得出此8大内涵或外延的公理式：^[4](P40)

【 OO】外延相同者必存在互蕴公理

⊨ Ψ_j ^∘Ω_j[( Ψ_j＝ Ω_j)→□( Ψ_jE! Ω_jE!)]，

【 OO】内涵相同者必存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[( Ψ_j＝ Ω_j)→□( Ψ_jE! Ω_jE!)]；

【 OI】外延相似者可存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[( Ψ_j∽ Ω_j)→¯( Ψ_jE! Ω_jE!)]，

【 OI】内涵相似者可存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[( Ψ_j∽ Ω_j)→¯( Ψ_jE! Ω_jE!)]；

【 IO】外延相异者可存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[( Ψ_j≠ Ω_j)→¯( Ψ_jE! Ω_jE!)]，

【 IO】内涵相异者可存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[( Ψ_j≠ Ω_j)→¯( Ψ_jE! Ω_jE!)]；

【 II】外延相反者必存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[( Ψ_j∝ Ω_j)→□( Ψ_jE! Ω_jE!)]，

【 II】内涵相反者必存在互蕴公理

⊨ Ψ_j Ω_j[( Ψ_j∝ Ω_j)→□( Ψ_jE! Ω_jE!)]．

这里，有必要对前述4大公理的相干性及模态性，作些必要说明：形式逻辑的相同者必存在互蕴公理^[2](P34)中的互蕴(↔)是相同的相干且必然的互蕴，即衍推互蕴。关于相干(Relevance)与衍推(Entailment)逻辑的崭新体系，是由A.Anderson与N.Belnap建立并于上世纪70至80年代臻于完善的。其主要观点是：代替真值蕴涵（即所谓的实质蕴涵）的相干且必然的衍推蕴涵，不仅要顾及前后件的真值，而且还要顾及前后件在内容上的联系。所谓内容上的联系，就是在蕴涵式的前件与后件中，至少存在着一个相同的命题变元(相干原理)。^[3](序)其实，相同命题变元之内的主项变元且谓项变元也皆是相同的，因此如果两命题的主谓变元皆相同，那么此两命题也应该是相干的。由于互蕴的两命题互为前后件，因此若其命题变元相同（其主谓变元也必相同），则它们就可以是相干且必然的衍推互蕴。显然，此衍推互蕴的必然性(□)根源于此两命题变元的相同。

辩证逻辑相反者必存在互蕴公理^{[2](P34～36)}中的互蕴(↔)是相反的相干且必然的互蕴，这也是衍推互蕴。西方的数理逻辑仅仅研究了相同相干且必然的互蕴，但尚未研究其反题即相反相干且必然的互蕴。后一互蕴的原型来源于中国传统哲学的“阴阳互为其根”。这既可解释为相反命题变元间的必互蕴，也可解释为相反主谓变元间的必互蕴。其实，相反命题变元之内的主项变元且谓项变元也皆是相反的，因此如果两命题的主谓变元皆相反，那么此两命题也应该是相干的。由于互蕴的两命题互为前后件，因此若其命题变元相反（其主谓变元也必相反），则它们也可以是相干且必然的衍推互蕴。显然，此衍推互蕴的必然性(□)根源于此两命题变元的相反。对于此种源自中国传统哲学阴阳(变元)的衍推互蕴研究，中国逻辑学者更应该作出自己的并不逊色于西方学者的贡献。

在逻辑学中，由于任何变元(包括命题变元和主谓变元)都是可以赋予具体内容的，也就是说无论是相同变元(Ψ_j＝Ω_j)还是相反变元(Ψ_j∝Ω_j)，甚至是此两者之推广的相似变元(Ψ_j∽Ω_j)或相异变元(Ψ_j≠Ω_j)，皆是代表内容的。因此，代表内容的相同变元甚至相似变元(相似的极限是相同)，相反变元甚至相异变元(相异的极限是相反)，此4类不同变元间的推理关系(既可是命题变元间的推理关系,也可是主项变元间或谓项变元间的推理关系)，就皆成了本文所要专题探讨的对象。

为何要讨论上述4大公理式的互蕴关系及其非( )反( )演算关系呢？

互蕴关系( )是逻辑关系。此关系是逻辑推理基础类型的核心关系，其它逻辑推理关系皆可依据互蕴关系( )而推导出来！对此，可用p q的逻辑推导说明如下：

p q＝(p→q)∧(p←q)

＝( p∨q)∧( q∨p)

   ＝( p∨q)∧ q∨( p∨q)∧p

   ＝( p q∨q q)∨( pp∨qp)

   ＝( p q∨0)∨(0∨pq)＝pq∨ p q

从以上推导所显示出的多种逻辑关系可知：逻辑关系“→、←、∧、∨、 ”皆为“ ”关系所蕴涵，而 与→、 与∧、 与∨都可以构造出逻辑的公理系统，如布尔的“ -∧”公理系统，弗雷格的“ -→”公理系统，罗素的“ -∨”公理系统。由此，“ ”可以通吃构造逻辑公理系统的所有推理关系！

另外，由于相同与相反公理的引入，必须用“ ”表示 与 、 与 间相干且必互蕴的关系，因此，“ ”也可顺理成章地进入逻辑公理系统之中。由于增加了与逻辑否定词“ ”相对应的描述否定词“ ”，就能使→与←、∧与∨、 与 皆成为具有相反内涵关系的逻辑词，即：      ( →)∝( ←)，

( ∧)∝( ∨)，

( )∝( )．

由于此3对呈相反内涵关系的逻辑词皆为“ ”所隐含，所以“ ”就内蕴了一切逻辑的推理关系。这就是说：“ ”可以成为逻辑推理基础类型(LTJL)的根本演算关系！

由此，我们既可以对前述4大公理进行“仅只否定一切命题的描述变项(主范畴词项)不及真值(在否定时若有真值形式，则不必将其化为合取式或析取式后再行否定)”的反演算(∼)，从而得出内容相反的同样具有确定性的必然互蕴(£↔)公理或不具确定性的可能互蕴(¯↔)公理；也可以对前述4大公理进行“仅只否定一切命题的逻辑常项(助范畴词项)以及真值(在否定时若有真值形式，则必须将其化为合取式或析取式后再行否定)”的非演算( )^[4](P213)，从而得出与此4大公理形式相矛盾的必须排除的演算结果。[④]

1.通过对相同公理之描述词的内涵否定( ),可得另一存在形式的但实质是一样的相同公理：

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j＝Ω_j)→□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊨ ,,[( ＝ )→□( E!↔ E!)]

这说明：辩证否定必成立的(⊨)相同公理，得必成立的(⊨)另一存在内容的相同公理！如：

⊢[(3＝3)t→□(3E!↔3E!)t]＝⊢[(-3＝-3)t→□(-3E!↔-3E!)t]

再通过对相同公理之逻辑词的外延否定( )，得：

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j＝Ω_j)→□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝ ⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j≠Ω_j)∨□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊭ Ψ_j Ω_j[ (Ψ_j≠Ω_j)∧ □(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊭ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j＝Ω_j)∧¯ (Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

此即逻辑否定必成立的(⊨)相同公理，得不成立的(⊭)有的相同者( Ψ_j Ω_j)可能并非( )存在互蕴！如： ⊢[(3＝3)t→□(3E!↔3E!)t]＝⊬[(3＝3)t∧¯(3E!↮3E!)f]

2.通过对相反公理之描述词的内涵否定( ),可得另一存在形式的但实质是一样的相反公理：

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∝Ω_j)→□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊨ [( ∝ )→□( E!↔ E!)]

这说明：辩证否定必成立的(⊨)相反公理，得必成立的(⊨)另一存在内容的相反公理！如：

⊢[(3∝-3)t→□(3E!↔-3E!)t]＝⊢[(-3∝3)t→□(-3E!↔3E!)t]

再通过对相反公理之逻辑词的外延否定( )，得：

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∝Ω_j)→□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝ ⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∽Ω_j)∨□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊭ Ψ_j Ω_j[ (Ψ_j∽Ω_j)∧ □(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊭ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∝Ω_j)∧¯ (Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

此即逻辑否定必成立的(⊨)相反公理，得不成立的(⊭)有的相反者( Ψ_j Ω_j)可能并非(¬)存在互蕴！如： ⊢[(3∝-3)t→□(3E!↔-3E!)t]＝⊬[(3∝-3)t∧¯(3E!↮-3E!)f]

3.通过对相似公理之描述词的内涵否定( ),可得另一存在形式的但实质是一样的相似公理：

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∽Ω_j)→◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊨ [( ∽ )→◇( E!↔ E!)]

这说明：辩证否定可成立的(⊨)相似公理，得可成立的(⊨)另一存在内容的相似公理！如：

～⊢[([0,1]∽[＝,∝])t→◇([0,1]↔[＝,∝])t]

＝⊢[([1,0]∽[∝,＝])t→◇([1,0]↔[∝,＝])t]

再通过对相似公理之逻辑词的外延否定( )，得：

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∽Ω_j)→◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝ ⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∝Ω_j)∨◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊭ Ψ_{<,S,PAN lang=EN-US>j} Ω_j[ (Ψ_j∝Ω_j)∧ ¯(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊭ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∽Ω_j)∧□ (Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

此即逻辑否定可成立的(⊨)相似公理，得不成立的(⊭)所有相似者( Ψ_j Ω_j)必然并非( )存在互蕴！如： ⊢[([0,1]∽[＝,∝])t→◇([0,1]E!↔[＝,∝]E!)t]

＝⊬[([0,1]∽[＝,∝])t∧□([0,1]E!↮[＝,∝]E!)f]

4.通过对相异公理之描述词的内涵否定( ),可得另一存在形式的但实质是一样的相异公理：

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j≠Ω_j)→◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊨ [( ≠ )→◇( E!↔ E!)]

这说明：辩证否定可成立的(⊨)相异公理，得可能成立的(⊨)另一存在内容的相异公理！如：

⊢[(1≠2)t→◇(1E!↔2E!)t]＝⊢[(-1≠-2)t→◇(-1E!↔-2E!)t]

再通过对相异公理之逻辑词的外延否定( )，得：

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j≠Ω_j)→◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝ ⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j＝Ω_j)∨◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊭ Ψ_j Ω_j[ (Ψ_j＝Ω_j)∧ ¯(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊭ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j≠Ω_j)∧□ (Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

此即逻辑否定可成立的(⊨)相异公理，得不成立的(⊭)所有相异者( Ψ_j Ω_j)必然并非( )存在互蕴！如： ⊢[(1≠2)t→◇(1E!↔2E!)t]＝⊬[(1≠2)t∧□(1E!↮2E!)f]

由上可知：通过对4大公理之描述词的内涵反演算( )，相同公理还是相同公理，相反公理还是相反公理，相似公理还是相似公理，相异公理还是相异公理，这说明此4大公理在双闭双开区间中是彼此独立的——对各公理的内涵反演算皆是保持其辩证矛盾形式的；通过对4大公理之逻辑词的外延非演算( )，相同公理已被逻辑否定，相反公理又被逻辑否定，相似公理也被逻辑否定，相异公理还是被逻辑否定，这说明此4大公理在双闭双开区间中是各自一致的——对各公理的外延非演算皆是排除其逻辑矛盾形式的。由于相同(＝)、相似(∽)、相异(≠)、相反(∝)已将双闭双开区间[＝,(∽∩≠),∝]的位置全部占满，由此说明此4大公理在双闭双开区间中是整体完全的——对各公理基础类型词的外延并演算(∪)之结果，就是逻辑推理基础类型词的大全集。可以将上述4大公理各自具有的独立性且一致性及其在双闭双开区间整体上的完全性，统一地表示为如下4大互蕴公理皆成立(⊨)的逻辑推理基础类型(LTJL)关系图：

 

＝⊨ Ψ_j Ω_j[Ψ_j(∽∧≠)Ω_j→◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)](中和项的非确定性推理)

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∽Ω_j)→◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]∧⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j≠Ω_j)→◇(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

∩∩∩

LTJL：

, ∪[＝⇤∽∩≠⇥∝]∪ ,

＝[＝,∝]

∪∪∪

⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j＝Ω_j)→□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]∨⊨ Ψ_j Ω_j[(Ψ_j∝Ω_j)→□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)]

＝⊨ Ψ_j Ω_j[Ψ_j(＝∨∝)Ω_j→□(Ψ_jE!↔Ω_jE!)](对立项的确定性推理)

 

图5：LTJL所包含的确定性或非确定性推理关系^[1](P41)

 

图5对逻辑学的确定性推理和不确定性作了简要概括，至于对此4大公理的详细说明与实例验证，笔者将另文再作专门论述。

 

 

 

 

 

(原载《昆明学院学报》2009年第4期。)